Union Find

定义

并查集是一种树型的数据结构,用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。并查集有三种基本操作,获得根节点,判断两节点是否连通,以及将两不连通的节点相连(相当于将两节点各自的集合合并)。

实现

用UnionFind类来表示一个并查集,在构造函数中,初始化一个数组parent,parent[i]表示的含义为,索引为i的节点,它的直接父节点为parent[i]。初始化时各个节点都不相连,因此初始化parent[i]=i,让自己成为自己的父节点,从而实现各节点不互连。

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def __init__(self, n):
self.parent = list(range(n))

由于parent[i]仅表示自己的直接父节点,查询两个节点是否相交需要比较它们的根节点是否相同。因此要封装一个查询自己根节点的方法。

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def get_root(self, i):
while i != self.parent[i]:
i = self.parent[i]
return i

接下来可以通过来比较根节点是否相同来判断两节点是否连通。

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def is_connected(self, i, j):
return self.get_root(i) == self.get_root(j)

当要连通两个节点时,我们要将其中一个节点的根节点的parent,设置为另一个节点的根节点。注意,连通两个节点并非仅仅让两节点自身相连,实际上是让它们所属的集合实现合并。

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def union(self, i, j):
i_root = self.get_root(i)
j_root = self.get_root(j)
self.parent[i_root] = j_root

优化

由于调用get_root时需要通过不断找自己的直接父节点,来寻找根节点,如果这棵树的层级过深,会导致性能受到严重影响。因此我们需要在union时,尽可能的减小合并后的树的高度。在构造函数中新建一个数组rank,rank[i]表示节点i所在的集合的树的高度。

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def __init__(self, n):
self.parent = list(range(n))
self.rank = [0] * len(self.parent)


def union(self, i, j):
i_root = self.get_root(i)
j_root = self.get_root(j)

if self.rank[i_root] == self.rank[j_root]:
self.parent[i_root] = j_root
self.rank[j_root] += 1
elif self.rank[i_root] > self.rank[j_root]:
self.parent[j_root] = i_root
else:
self.parent[i_root] = j_root

通过对union操作的改良可以防止树的高度过高。我们还可以对get_root操作本身进行优化。
当前每次执行get_root时,需要一层一层的找到自己的父节点,很费时。由于根节点没有父节点,并且文章开始处提到过如果一个节点没有父节点,那么它的父节点就是自己,因此可以说只有根节点的父节点是自己本身。现在我们加上一个判断,判断当前节点的父节点是否为根节点,如果不为根节点,就递归地将自己的父节点设置为根节点,最后返回自己的父节点。

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def get_root(self, i):
if self.parent[i] != self.parent[self.parent[i]]:
self.parent[i] = self.get_root(self.parent[i])
return self.parent[i]
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