Logistic Regression and Maximum likelihood estimation

如果用最小二乘法，目标函数就是 $E_{w,b}=\sum_{i=1}^{m}\left ( y_{i}-\frac{1}{1+e^{-\left ( w^{T}x_{i}+b \right )}}\right )^2$ 是非凸的，不容易求解，会得到局部最优。

如果用最大似然估计，目标函数就是对数似然函数： $l_{w,b}=\sum_{i=1}^{m}\left ( -y_{i}\left ( w^{T}x_{i}+b \right )+ln\left ( 1+e^{w^{T}x_{i}+b} \right ) \right )$

是关于 (w,b) 的高阶连续可导凸函数，可以方便通过一些凸优化算法求解，比如梯度下降法、牛顿法等。

最大化似然概率的形式:

$max \prod_{i=1}^{m}p(y_{i}|x_{i},\theta)$

对于二分类问题有:

$p_{1}=p(y=1|x,\theta)=\frac{e^{x\theta}}{1+e^{x\theta}},y=1$ $p_{0}=p(y=0|x,\theta)=\frac{1}{1+e^{x\theta}},y=0$

用一个式子表示上面这个分段的函数为：

$p=p(y|x,\theta)=p_{1}^{y_{i}}\ast p_{0}^{1-y_{i}}$

代入目标函数中，再对目标函数取对数，则目标函数变为：

$max \sum_{i=1}^{m}({y_{i}\log{p_{1}}+(1-y_{i})\log{p_{0})}}$

如果用 $h_{\theta}(x_{i})$ 来表示 $p_{1}$ ，则可用 $1-h_{\theta}(x_{i})$ 来表示 $p_{0}$ ，再将目标函数max换成min，则目标函数变为：

$min -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}({y_{i}\log{h_{\theta}(x_{i})}+(1-y_{i})\log({1-h_{\theta}(x_{i})}))}$